HOME
3H2
4HA1
4HA2
4HB2
5HA2
5HB1
5HB2
Jaaragenda
Rekenmachine
PTA 4H
PTA 5H
Pr.opdr. 4H
Webquests
Pr.opdr.
PWS 
Geschiedenis
Wiskunde
Links Wiskunde
De TAS
 

Oneindig

Inleiding

In de zomervakantie vind je een baantje als receptionist bij een hotel dat "Hilbert's Hotel" heet. Je baas daar is mijnheer Cantor. Op je eerste werkdag ontdek je iets verbazingwekkends: het hotel heeft oneindig veel kamers! Het hotel is gebouwd op een plek waar de ruimte raar verwrongen is: de eerste verdieping is 4 meter hoog, en iedere volgende verdieping is half zo hoog als de voorgaande (als je met de lift omhoog gaat, krimp je zelf net zo hard mee natuuurlijk). Daardoor is het gebouw, ondanks het oneindige aantal verdiepingen toch niet oneindig groot...

Meteen op de eerste maandag dat je er werkt, begint de ellende al: het hotel is vol, en er komt een nieuwe gast binnen. Net als je 'm wilt vertellen dat er geen plek meer is, duikt mijnheer Cantor op. Die heeft blijkbaar al vaker met dit bijltje gehakt: hij pakt de microfoon van de intercom, en roept om dat alle gasten moeten verhuizen naar de volgende kamer: kamer 1 verhuist naar kamer 2, kamer 2 gaat naar kamer 3, enzovoorts. Na het nodige gerommel op de gangen is nu kamer 1 vrijgekomen, en kan de nieuwe gast probleemloos zijn intrek nemen!

De volgende dag arriveren er 20 nieuwe gasten. Je hebt de truc nu door: je zegt over de intercom dat iedereen moet verhuizen naar de kamer met een nummer dat 20 hoger is dan zijn huidige kamer. Dus kamer 1 gaat naar kamer 20, enzovoorts. Hoppa, 20 kamers vrij gemaakt voor de 20 nieuwe gasten! En omdat je het zo snel hebt opgepikt krijg, je van mijnheer Cantor nog een salarisverhoging ook!

Op vrijdagavond is het altijd extra druk met nieuwe gasten die er een weekendje tussenuit willen. Deze week is het echter wel heel erg druk: er arriveert een bus met oneindig veel nieuwe gasten - en het hotel was al vol! Tien of twintig gasten is geen probleem - zelfs tienduizend nieuwe gasten zou nog wel lukken, maar oneindig... Maar net als je de nieuwe gasten wilt vertellen dat het hotel nu echt vol is, duikt mijnheer Cantor weer op. "Geen probleem, er is ruimte genoeg", zegt hij tegen de nieuwelingen, en hij grijnst even als hij je verbouwereerde uitdrukking ziet. Hij loopt naar de intercom om de reeds aanwezige gasten nieuwe verhuisaanwijzingen te geven...

In deze webquest ga je het begrip "oneindig" onderzoeken. Hoe kan mijnheer Cantor oneindig veel nieuwe gasten een kamer geven als het hotel al vol is? Je gaat ontdekken dat "oneindig" niet zo simpel is als het lijkt: er zijn meer soorten oneindig dan je lief is! Tot slot bestudeer je het zogenaamde diagonaalbewijs van Cantor, waarmee bewezen wordt dat er inderdaad oneindige verzamelingen bestaan die echt groter zijn dan andere oneindige verzamelingen. Met andere woorden: Hilbert's hotel kan niet echt ieder aantal nieuwe gasten aan! Sommige aantallen zijn echt te veel, zelfs voor een hotel met oneindig veel kamers...

Opdracht

Gedurende deze webquest ga je het begrip "oneindig" onderzoeken: is "oneindig" gewoon "heel groot en dan nog een beetje meer", of zit dat wat ingewikkelder in elkaar? Je ontdekt dat er verschillende "ordes van oneindigheid" bestaan, waar de ene echt groter is dan de andere. Aan het eind ben je zelfs in staat dit feit te bewijzen. Dit bewijs, het diagonaalargument van Cantor, is eigenlijk ontzettend eenvoudig, maar heeft indertijd voor de nodige opschudding in wiskundige kringen gezorgd: wiskundigen waren er altijd van uit gegaan dat oneindig inderdaad niets meer was dan "heel groot en dan nog een beetje meer". Cantor liet zien dat ze het al die tijd bij het verkeerde eind hadden gehad...

Deel 1 - Hilbert's hotel

Tip vooraf: je zult op Engelstalige webpagina's terecht komen, waar wellicht wiskundige vaktaal gebruikt wordt. Als je moeilijke woorden tegenkomt, kijk dan eens naar de woordenlijst, of kijk anders bij de Bronnen waar links staan naar woordenboeken voor Engelstalige wiskundetermen.

In de Inleiding heb je een stukje gelezen over Hilbert's Hotel. Je zag dat, zelfs als het hotel vol was, er nog best n gast extra in kon: iedereen verhuisde naar de volgende kamer, en zo kwam kamer 1 vrij voor de nieuwe gast. Naar aanleiding hiervan:

  • Onderzoek wat een bijectie (1-op-1 correspondentie) is en hoe dat begrip gebruikt kan worden om te laten zien dat 2 verzamelingen (zoals {1, 2, 3} en {aap, noot mies}) even groot zijn.
  • Onderzoek wat we verstaan onder de kardinaliteit van een verzameling.
  • Leg uit hoe bovenstaand scenario uit Hilbert's Hotel bewijst dat de verzameling {1, 2, 3, ...} dezelfde kardinaliteit heeft als de verzameling N (de natuurlijke getallen, dus {0, 1, 2, 3, ...}).
  • Onderzoek hoe het verhaal over Hilbert's Hotel verder gaat: wat doet mijnheer Cantor om de oneindig veel nieuwe gasten die aan het eind van het verhaal arriveerden een kamer te geven? Leg uit hoe dit aantoont dat de verzameling 'E' van even getallen {0, 2, 4, 6, ...} even groot is als de verzameling N. Geef expliciete functies die N op E afbeelden en andersom. M.a.w. geef een f(x) die bij ieder element van N een (uniek) element van E produceert, en een functie g(x) die het omgekeerde doet (erg simpel! zoek hier niet te veel diepzinnigs achter).
  • Geef duidelijke voorbeelden van nog een paar verzamelingen die even groot zijn als N. Geef daarbij ook steeds de functies f(x) en g(x) zoals hiervoor.

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk exact beschreven. Met 'exact' bedoelen we dan: zo nauwkeurig, zonder details over te slaan, dat een klasgenoot die niets van dit onderwerp weet het probleemloos zou kunnen volgen. Dat geldt overigens ook voor de rest van het werkstuk.

Deel 2 - Oneindig vaak oneindig veel gasten

Het kan echter nog erger met dat hotel: op zekere dag komen er oneindig veel bussen met ieder oneindig veel gasten aan. Maar ook die kunnen allemaal nog een kamer krijgen!

Bekijk de verzameling Q van alle breuken. Bedenk je dat je alle breuken als volgt zou kunnen ordenen: eerst alle breuken met teller 1, dan alle breuken met teller 2, enzovoorts. Dus {1/1, 1/2, 1/3, ... , 2/1, 2/2, 2/3, ... 3/1, 3/2, ... }.

  • Leg uit hoe het hierboven staande hotelprobleem vertaald kan worden in een vraag over hoe groot de verzameling Q is.
  • Onderzoek hoe je alle nieuwe gasten een kamer kan geven. Of, wat hetzelfde is, toon aan dat N en Q even groot zijn, oftewel dat Q aftelbaar ('countable') is.

Realiseer je dat het volgende geen oplossing is: laat eerst alle gasten uit de 1e bus een kamer krijgen, en dan alle gasten uit de 2e bus, enz. Omdat er oneindig veel gasten in de 1e bus zitten, moeten de gasten uit de 2e bus dan oneindig lang wachten tot ze aan de beurt komen! Als het inchecken van een gast een minuut duurt, dan wil je een manier hebben om iedere gast te kunnen vertellen wanneer hij aan de beurt is. Anders gezegd: als je eerst alle breuken met teller=1 opsomt, dan kom je nooit aan de breuken met teller=2 toe. Hoe som je de breuken z op, dat ze gegarandeerd allemaal aan de beurt komen?

Deel 3 - Volgens Cantor kan het nog groter

Je zult ondertussen het idee hebben dat iedere hoeveelheid gasten altijd een plek in het hotel kan krijgen. Dat lijkt ook logisch: oneindig is immers oneindig, en of je dat nou 1 keer hebt of 2 keer of tienduizend keer, dat doet er dan toch niet toe?

Zo simpel ligt dat helaas (of gelukkig?) niet. De wiskundige Georg Cantor bewees eind 19e eeuw dat er verzamelingen bestaan die echt groter zijn dan de verzameling N. Het bekendste voorbeeld van zo'n verzameling is R, de verzameling van alle rele getallen. Die bevat evenveel elementen als er punten op een lijn (= het continuum) zijn. Als er dus zoveel nieuwe gasten in Hilbert's Hotel zouden arriveren, zou de manager een probleem hebben: zoveel gasten passen er echt niet in het hotel!

Cantor's bewijs, dat bekend staat als het diagonaalbewijs van Cantor, is een (prachtig en tamelijk eenvoudig) bewijs uit het ongerijmde: ga uit van het tegendeel van wat je wilt bewijzen en laat zien dat dat tot een tegenspraak leidt. Dan was je aanname dus fout, en heb je bewezen wat je wilde bewijzen.

Simpel voorbeeld van zo'n bewijs: we bewijzen een 'open deur', namelijk dat N oneindig veel getallen bevat. Ga er eens van uit dat dat niet zo is - m.a.w. dat N eindig is. Dan is er dus een grootste getal in N. Noem dat getal even G. Dan kan ik het getal G + 1 maken - en dat is groter dan G en bovendien een (positief) geheel getal, en dus ook een element van N (per definitie van wat N is). Maar dan was G dus niet het grootste getal! Tegenspraak. Onze aanname dat N eindig is, was dus fout, en dus is N oneindig.

  • Onderzoek en beschrijf precies hoe het diagonaalbewijs van Cantor werkt. Er zijn lichtelijk verschillende varianten in omloop, maar ze komen allemaal op hetzelfde neer - laat je daar dus niet door van de wijs brengen.

Conclusie

In deze webquest heb je je verdiept in n van de beroemdste (en beruchtste) bewijzen uit de wiskunde. Je hebt hopelijk gemerkt een begrip als "oneindig" veel lastiger en minder "plat" is dan je op het eerste gezicht misschien gedacht had. Het is inderdaad niet "1, 2, 3 veel", maar eerder "1, 2, 3 veel, en dan nog meer, en nog meer, en...".

Je bent voor het eerst in aanraking gekomen met een echt wiskundige bewijs, en je hebt waarschijnlijk hard moeten nadenken over "waarom het werkt". Kortom, je hebt gemerkt dat het heel goed mogelijk is om systematisch na te denken over een begrip dat op het eerste gezicht erg ongrijpbaar lijkt - om vervolgens te merken dat dergelijk systematisch nadenken tot erg vreemde en misschien tegen-intutieve conclusies leidt.

Hopelijk heb je met plezier aan deze webquest gewerkt. En ook: hopelijk heb je wat aardige (en niet-kinderachtige!) wiskunde opgestoken onderweg.

Bronnen

Theorie

http://www.mathacademy.com/pr/minitext/infinity/
Erg goede en over het algemeen vrij leesbare pagina met heel veel informatie.

http://www.science.uva.nl/opencollege/natuur/diagonaal/
Een interactieve applet die het diagonaalargument laat zien.

http://mathpages.com/home/kmath371.htm
Vrij lange en technische uiteenzetting over het diagonaalargument. Het eerste stuk is echter goed leesbaar en bruikbaar.

http://www.wikipedia.org/wiki/Cardinal_numbers
Definitie van het begrip "kardinaliteit".

http://www.cs.uidaho.edu/~casey931/mega-math/workbk/infinity/infinity.html
Een soort Engelse webquest over hetzelfde onderwerp, met goede achtergrond info, enz.

 

Biografie

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Cantor.html
Uitgebreide biografie van Cantor.

http://www.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
Erg korte biografie van Cantor, met daarnaast heel veel zinnige links naar uitleg over begrippen die bij dit onderwerp een rol spelen.

 

Diversen

http://www.wisfaq.nl/frame.htm?url=http://www.wisfaq.nl/zoeken.asp
Een aantal zoekmachines, speciaal voor wiskunde.