HOME
3H2
4HA1
4HA2
4HB2
5HA2
5HB1
5HB2
Jaaragenda
Rekenmachine
PTA 4H
PTA 5H
Pr.opdr. 4H
Webquests
Pr.opdr.
PWS 
Geschiedenis
Wiskunde
Links Wiskunde
De TAS
 

Kegelsneden

Inleiding

 

In deze webquest ga je je bezighouden met wat in de wiskunde "kegelsneden" worden genoemd. Je zult ontdekken dat je alle kegelsneden eigenlijk al kent, maar nooit wist dat ze kegelsneden waren. Bovendien ga je diverse nieuwe manieren ontdekken om die bekende dingen te maken.

Opdracht

Deel 1 - Een eerste kennismaking

Tip vooraf: je zult op Engelstalige webpagina's terecht komen, waar wellicht wiskundige vaktaal gebruikt wordt. Als je moeilijke woorden tegenkomt, kijk dan eens naar het woordenlijstje.

Een kegelsnede is een figuur die ontstaat als een kegel gesneden wordt door een (plat) vlak. Er zijn drie 'echte' kegelsneden en drie zogenaamde 'ontaarde' kegelsneden.

  • Zoek uit welke verschillende (gewone en ontaarde) kegelsneden er bestaan. Maak een schets van alle 6 gevallen (een driedimensionale schets is mooi maar lastig - je kunt in plaats daarvan ook een plat zijaanzicht tekenen, waarin het snijvlak dus te zien is als een rechte lijn). Maak duidelijk onder welke exacte omstandigheden de verschillende kegelsneden ontstaan. M.a.w. hoe moet het vlak t.o.v. de kegel staan om de verschillende figuren te krijgen? Probeer ook uit te leggen waarom de ontaarde kegelsneden 'ontaard' heten.
  • Stel je voor dat een vlak een kegel snijdt zodat de snijfiguur een cirkel is. Laat nu in gedachten het vlak draaien, zodat je achtereenvolgens verschillende figuren krijgt. Leg uit dat je 1 van de 3 figuren (welke?) kunt opvatten als het grensgeval tussen de andere twee.
  • Zie de 2 plaatjes hieronder. Leg uit welke kegelsnede je op het eerste plaatje op de muur ziet, en waarom. Op het tweede plaatje zie je een zaklamp die de vloer en een deel van de muur belicht. Leg uit hoe je met een zaklamp alledrie de kegelsneden tevoorschijn kunt toveren.

We zullen vanaf nu de ontaarde kegelsneden links laten liggen. Als we het over een kegelsnede hebben, bedoelen we dus een 'echte'.

  • Minstens 2 van de 3 soorten kegelsneden ben je al eerder tegen gekomen in de wiskundelessen, maar dan niet als meetkundige objecten (zoals hier) maar als algebra-dingen (met x-en en y's dus). Geef van ieder van de 3 kegelsneden een algebra´sch voorbeeld (mag zo eenvoudig mogelijk zijn), met bijbehorende tekening in een assenstelsel.

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk exact beschreven. Met 'exact' bedoelen we dan: zo nauwkeurig, zonder details over te slaan, dat een klasgenoot die niets van dit onderwerp weet het probleemloos zou kunnen volgen.

Deel 2 - Krom vouwen, en kromme spiegels

  • Zoek uit hoe je alledrie de kegelsneden kunt vouwen met papier.  Neem een korte beschrijving van de procedure plus je vouwsels in je werkstuk op.
  • Naar aanleiding van het vouwen van een parabool: ga naar http://www.pandd.demon.nl/cabrijava/keverpar.htm
    Je vindt daar een applet die een bepaalde constructie van de parabool demonstreert. Deze constructie is identiek aan de vouwmethode die je net uitgevoerd hebt. Leg exact uit waarom deze methode identiek is aan de definitie "een parabool is de verzameling punten die gelijke afstand hebben tot een richtlijn en een brandpunt" Hieronder als 'hint' een plaatje plus beschrijving van wat er bij de applet ook in grote lijnen vermeld wordt.

Neem richtlijn r en brandpunt F. P ligt op r en een tweede lijn gaat door P en staat loodrecht op r. P loopt over r (waardoor die 2e lijn meebeweegt natuurlijk). Neem nu de middelloodlijn van PF (dus loodrecht op PF en door het midden S). Die middelloodlijn snijdt P-P1 in P1. Bewijs nu: als P over r loopt, beweegt P1 over een parabool. Kortom: toon aan dat de lengte P-P1 gelijk is aan F-P1 (P-P1 is immers de afstand van P1 tot r...).
Leg uit wat dit met het vouwen van een parabool te maken heeft.

  • Beschrijf hoe elliptische en parabolische spiegels werken. Beschrijf van beide spiegels echtbestaande praktische toepassingen.
  • Geef voor alledrie de kegelsneden nog een paar voorbeelden van waar ze in het echt voorkomen.

Conclusie

In deze webquest heb je ontdekt dat bepaalde krommen die je tot dusver alleen kende als functies (die altijd een hoop (vervelend?) rekenwerk met zich meebrengen), ook op heel veel andere manieren te maken zijn. Kegelsneden blijken een onuitputtelijke bron van rare en interessante puzzels te zijn. Hopelijk denk je daar nog eens aan terug, als je weer eens moet uitzoeken waar y = x2 - 3x + 1 de x-as snijdt.

Hopelijk heb je met plezier aan deze webquest gewerkt. En ook: hopelijk heb je ontdekt dat wiskunde echt niet perse altijd saai rekenwerk hoeft te zijn. De volgende keer dat je de koplamp van je fiets uit elkaar haalt en dat spiegeltje daar in ziet zitten... En als je ooit nog eens bij een vijver staat en er twee stenen tegelijk in gooit: kijk eens hoe die golven elkaar doorsnijden. Zie jij daar ook een hele verzameling kegelsneden...?

Bronnen

Theorie

http://www.geom.umn.edu/docs/reference/CRC-formulas/node26.html
Kegelsneden als snijfiguren van vlak en kegel.

http://www.pandd.demon.nl/kever.htm
Ontzettend goede Nederlandse pagina, met een hele verzameling applets die e.e.a. demonstreren. Het rekenwerk is niet triviaal en kun je negeren. De stellingen en definities (allen in een kadertje) zijn goed te begrijpen, en omvatten verschillende 'opvattingen' van de kegelsneden.

http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html
http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html
http://mathworld.wolfram.com/Hyperbola.html
http://mathworld.wolfram.com/ConicSection.html
http://mathworld.wolfram.com/ConicSectionDirectrix.html
Pagina's van de beroemde MathWorld-site. Over het algemeen vrij technisch maar erg goed. Vooral in het begin van de pagina's zinnige info. De ellips-pagina bevat bovendien een kleine animatie.

http://www.xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Ellipse_dir/ellipse.html
http://www.xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Parabola_dir/parabola.html
http://www.xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Hyperbola_dir/hyperbola.html
http://www.xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/ConicSections_dir/conicSections.html
Pagina's van de beroemde site van Xah Lee. Een paar fraaie plaatjes en veel technische info. Inclusief goed leesbare info over de optische (=spiegel) eigenschappen van de kegelsneden.

http://www.punahou.edu/acad/sanders/geometrypages/GP18Ellipse.html
http://www.punahou.edu/acad/sanders/geometrypages/GP19Parabola.html
Twee uitstekende en leesbare pagina's, met voorbeelden, plaatjes en formules.

http://www.ies.co.jp/math/java/conics/focus_ellipse/focus_ellipse.html
http://www.ies.co.jp/math/java/conics/focus/focus.html
http://www.ies.co.jp/math/java/conics/focus_hyper/focus_hyper.html
Pagina's die de reflecterende eigenschappen van de kegelsneden laten zien, incusief applets.

http://www.krellinst.org/UCES/archive/resources/conics/newconics.html
Een aardige verzameling documenten die een inleidng in het onderwerp kegelsneden geven. Niet spectaculair goed, maar wellicht nuttig.

http://www.maa.org/mathland/mathland_3_3.html
Biljarten op een elliptische tafel..

 

Illustraties en applets (zie ook sommige pagina's hierboven)

http://www.jalacy.com/conics/java.shtml
Applet waar je een kegel met een vlak kunt snijden, en de resulterende kromme kan bekijken.

http://www.pandd.demon.nl/cabrijava/kever_con.htm
Applet die kegelsneden als "grens" tussen punt en lijn demonstreert.

http://home.planet.nl/~hklein/meetk/para6.htm
Applet waarmee je de parabool als conflictlijn kunt onderzoeken.

http://www.pandd.demon.nl/kegelanim.htm
Tamelijke grote (1.5 MB) animatie van hoe een vlak een kegel kan doorsnijden.

http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/conics/pictures.html
Fraaie plaatjes die kegelsneden en ontaarde kegelsneden laten zien.

 

 

Doe het zelf

http://www-cm.math.uiuc.edu/~halperin/foldingpaper.html