fibonacci

Fibonacci

Inleiding

In deze webquest onderzoek je één van de meest bijzondere getalreeksen, de reeks van Fibonacci.

Deel 1 - Fibonacci's reeks

Tip vooraf: je zult op Engelstalige webpagina's terecht komen, waar wellicht wiskundige vaktaal gebruikt wordt. Als je moeilijke woorden tegenkomt, kijk dan eens naar het woordenlijstje.

Deel 1a: Inleiding

Zoek op het web op wat de reeks van Fibonacci is: beschrijf exact hoe deze reeks in elkaar zit (geef dus een "rekenrecept"). Geef een tabel met minstens de eerste 20 termen van de reeks.

Deel 1b: Puzzelen

Afspraak: we zullen het voortaan over F(n) hebben als we het n-de Fibonacci getal bedoelen. We beginnen bij 0 te nummeren, en laten de reeks met 1,1,2,... beginnen (sommigen beginnen met 0,1,1,2,... maar dat doen we dus niet). Dus F(0) = F(1) = 1, F(2) = 2, enzovoorts.

Ga naar http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibpuzzles.html#bricks. Je vindt daar een puzzel over het bouwen van een muurtje van 2 eenheden hoog. Beschrijf deze puzzel precies, en leg nauwkeurig uit waarom de reeks van Fibonacci hier het antwoord is. Het antwoord staat ook op deze website (dat is makkelijk), maar vertel het zo duidelijk mogelijk in je eigen woorden (en zorg dat je het goed snapt).

Zoek uit wat het oorspronkelijke probleem was dat Fibonacci tot de ontdekking van deze reeks bracht. Beschrijf het probleem, en laat zien dat de reeks van Fibonacci hier inderdaad een rol speelt.

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk exact beschreven. Met 'exact' bedoelen we dan: zo nauwkeurig, zonder details over te slaan, dat een klasgenoot die niets van dit onderwerp weet het probleemloos zou kunnen volgen. Zorg dat het e.e.a. een lopend verhaal wordt. Geen opsomming van feitjes, en geen "lijstje antwoorden op vragen" dus. De hierboven aangehouden volgorde is bedoeld om je richting te geven bij je onderzoek. Dat wil niet zeggen dat het ook de beste volgorde is om dingen in je werkstuk te presenteren. Wees creatief en gebruik je verstand.

Deel 2: Zonnebloemen

Ga naar de Bronnen hieronder, en download daar onder 'Materialen' de Fibonacci spreadsheet. Als je geen Excel hebt is dat geen ramp en kun je het volgende "met de hand" doen. Excel-gebruik verdient echter de voorkeur. Start Excel en open de spreadsheet.

Je ziet 3 kolommen: n, F(n) en F(n+1)/F(n). Bestudeer de formules die in de diverse kolommen staan en zorg dat je snapt wat ze doen. Vul de ontbrekende cellen in (t/m n=20), zodat overal wat staat. Beschrijf wat er gebeurt in de kolom F(n+1)/F(n). Laat Excel hier een lijndiagram van tekenen: (n op de horizontale as en de F(n+1)/F(n) op de verticale as). Neem de grafiek in je werkstuk op. Probeer zo nauwkeurig mogelijk te bepalen wat er op de lange termijn gebeurt (dus voorbij n=20).

Leg de volgende bewering uit: op de lange termijn groeit de reeks van Fibonacci nagenoeg exponentieel. Geef de bijbehorende exponentiële groeiformule. Neem F(10) als begingetal.

Maak eens een "Fibonacci-achtige" reeks: hetzelfde "bouw"-recept, alleen begin je nu met 2 andere getallen dan 1 en 1 voor F(0) en F(1). Doe dit een paar keer en beschrijf het effect van de begingetallen op de kolom met F(n+1)/F(n).

Je bent al web-surfend misschien al de zonnebloem tegengekomen. Als een zonnebloem zaadjes laat groeien, dan doet hij dat zó dat het oppervlak van het bloemenhart zo goed mogelijk gebruikt wordt. M.a.w.: zo min mogelijk lege plekken, en voor ieder zaadje zoveel mogelijk ruimte.

Download bij de Bronnen (in de Materiaal sectie) de spreadsheet "zonnebloem". Onderzoek hiermee wat er gebeurt als een zonnebloem, vanuit het midden beginnend, ieder volgend zaadje b.v. over 180 graden (dus een fractie 0.5 van de 360 graden) gedraaid zou laten groeien. Leg duidelijk uit waarom het gebruik van breuken (1/5 * 360, of 3/11 * 360) geen goede tactiek voor de zonnebloem is. Let op: je uitleg moet betrekking hebben op alle breuken en dus niet op een paar concrete gevallen.

Gebruik nu de verhouding die je hiervoor vond (F(n+1)/F(n) voor grote n). Kijk wat er gebeurt en trek conclusies. Tel hoeveel spiralen er linksom lopen en hoeveel er rechtsom lopen (pagina printen - dat is makkelijker tellen). Waar is Fibonacci? Van dit en het vorige onderdeel neem je uiteraard plaatjes op in je werkstuk.

In het werkstuk

Deel 3 - Nogmaals Fibonacci

Er is allerlei interessants aan de reeks van Fibonacci te ontdekken, en hij komt op allerlei plaatsen voor (in de natuur, in mensenwerk, in puzzels, enzovoorts). Dit onderdeel is heel vrij: schrijf een stuk over deze reeks, en vertel daarin over iets wat jij interessant of opmerkelijk vindt. Geef voorbeelden indien dat relevant is en gebruik illustraties om het e.e.a. toe te lichten of voor de lezer duidelijk te maken. Daarvoor moet je dus op onderzoek: kijk wat er allemaal te beleven is aan deze reeks. Wat kan jij daarmee? Wat vind je interessant? Op de eerder gebruikte site http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibpuzzles.html#bricks vind je nog wat puzzels met toepassingen van Fibonacci.

Maak je hier niet te makkelijk van af. Geen lijstje met kant-en-klaar gekopieerde dingen, of een opsomming van "interessantigheden". Probeer in eigen woorden iets te schrijven dat in de schoolkrant gepubliceerd zou kunnen worden en waardoor een onwetende schoolgenoot geïnteresseerd en/of enthousiast zou raken.

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk beschreven.

Deel 4 - afsluiting

Als al het denk- en schrijfwerk achter de rug is, voeg je de verschillende stukken samen tot één werkstuk. Zorg dat het geheel er verzorgd uitziet. Nette hoofdstukindeling, alineaindeling, goed gebruik van kopjes waar nodig, een niet al te grote letter gebruiken, inhoudsopgave, bronvermelding, functioneel gebruik van illustraties, enzovoorts.

Achterin het werkstuk voeg je als appendix toe:

Het logboek, waarin je bijgehouden hebt wanneer je wat hebt gedaan.

Het werkstuk wordt op tijd ingeleverd.

Conclusie

In deze webquest heb je je verdiept in één van de beroemdste reeksen uit de wiskunde. Bovendien heb je gezien dat deze op allerlei plaatsen voorkomen: in de natuur, de kunst, architectuur, enzovoorts. Misschien ben je door dit onderzoek (nog beter) gaan begrijpen dat wiskunde niet alleen een abstracte stoffige bezigheid is die niets met de echte wereld te maken heeft. Integendeel: zonnebloemen, voorouders van bijen, een Nautilusschelp... het zijn allemaal voorbeelden van hoe 'echt' en natuurlijk wiskunde is.

Bronnen

Reeks van Fibonacci

Leonardo di Pisa, alias Fibonacci (zoon van Bonaccio)

Fibonacci-getallen

Fibonacci en de proportio divina

http://www.goldennumber.net/
Veel algemene info over Fibonacci, Gulden Snede, en waar ze voorkomen in o.a. de natuur.

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/
Misschien wel de beste site, die wat wiskundiger van aard is.

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibpuzzles.html
Van de voorgaande site: eenvoudige Fibonacci puzzels.

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibpuzzles2.html
Van dezelfde site: lastiger puzzels.

http://milan.milanovic.org/math/english/fibo/fibo.html
De reeks van Fibonacci in de driehoek van Pascal.

http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pascal.triangle.html
Nogmaals de reeks van Fibonacci en de driehoek van Pascal.

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat2.html
Van de voorgaande site: de beste "pakking" van b.v. zonnebloemzaden.

Biografie

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/Mathematicians/Fibonacci.html
Een biografie van Fibonacci.

Materiaal

fibonacci.xls (spreadsheet)

zonnebloem.xls (spreadsheet