HOME
3H2
4HA1
4HA2
4HB2
5HA2
5HB1
5HB2
Jaaragenda
Rekenmachine
PTA 4H
PTA 5H
Pr.opdr. 4H
Webquests
Pr.opdr.
PWS 
Geschiedenis
Wiskunde
Links Wiskunde
De TAS
 

Vlakvulling

  

Inleiding

In deze webquest ga je je verdiepen in wat in de wiskunde "vlakverdelingen" heet - tegeltjes dus. Maar dan wel van het interessantere soort. Je zult eenvoudige en lastige tegelpatronen tegenkomen. Je verdiept je in zogenaamde periodieke tegelpatronen: patronen die zichzelf om de zoveel centimeter herhalen (zoals het doorsnee badkamerwandje). Daarnaast zul je ook het werk van de beroemde Nederlandse graficus M.C. Escher tegenkomen en een stukje over hem schrijven.

Opdracht

Gedurende deze webquest gaan je je verdiepen in regelmatige vlakvullingen. Het onderstaande plaatje vult weliswaar het vlak, maar is (duidelijk) niet regelmatig. Daar hebben we dus niets aan: dat soort vlakvullingen is zo makkelijk te maken dat er weinig plezier aan te beleven is.

Figuur hierboven: dit is dus niet interessant

Een regelmatige vlakvulling is er een die zichzelf herhaalt. De doorsnee badkwamerwand is daar een goed voorbeeld van: als je een meter verderop gaat kijken, zie je eigenlijk hetzelfde. Badkamerwandjes zijn echter ook niet bijster interessant. Je gaat daarom onderzoeken hoe je interessantere tegels kunt ontwerpen. Daarbij zul je onder andere het beroemde werk van Escher tegenkomen, die een held was als het gaat om het ontwerpen van niet altijd even voor de hand liggende vlakvullingen.

Concreet: je definieert wat een vlakvulling is en onderzoekt de zogenaamde Platonische vlakvullingen. Daarna ga je je verdiepen in minder voor de hand liggende vlakvullingen. Je onderzoekt wat een translatie- en rotatie-vlakvulling zijn en ontwerpt zelf dergelijke vlakvullingen. Je geeft ook een duidelijk recept voor hoe je dergelijke vlakvullingen kan maken. Daarnaast verdiepen je je in leven en werk van de graficus M.C. Escher.

Deel 1 - verkenning: regelmatige vlakvullingen

Vooraf: je gaat waarschijnlijk heel wat Engelse websites tegenkomen, die nogal eens wiskundige vaktaal gebruiken. Je kunt dan kijken of woorden die je niet kent in het woordenlijstje staan.

We zeiden al dat een regelmatige vlakvulling er een is die zichzelf herhaalt. Dat is niet nauwkeurig genoeg. Je zoekt om te beginnen twee definities:

  1. Definitie 1: Wat is een regelmatige veelhoek (regelmatige polygoon)?
  2. Definitie 2: Wat is een regelmatige vlakvulling (ook wel Platonische vlakvulling; in het Engels: regular tesselation)?

Hint: definitie 2 bestaat uit 3 voorwaarden.

Er bestaan precies 3 regelmatige vlakvullingen, namelijk degenen die je hieronder ziet.

  • Opdracht: bewijs dat er precies 3 regelmatige vlakvullingen bestaan. M.a.w. geef een onweerlegbaar argument waarom er niet meer kunnen bestaan. Hint: gebruik de Bronnen-pagina.

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk exact beschreven. Met 'exact' bedoelen we dan: zo nauwkeurig, zonder details over te slaan, dat een klasgenoot die niets van dit onderwerp weet het probleemloos zou kunnen volgen.

 

Deel 2 - zelf vlakvullingen maken

Onderstaande plaatjes laten een zogenaamde translerende en een roterende vlakvulling van Escher zien:

Doe/beantwoord het volgende:

  1. Leg uit wat een translatie/rotatie is en waarom de vlakvullingen zoals hierboven worden getoond respectievelijk een "translerende vlakvulling" of "roterende vlakvulling" heten.
  2. Bovenstaand plaatjes zijn ieder gebaseerd op één van de drie regelmatige vlakvullingen. Welke? Neem bovenstaand plaatjes in het werkstuk op, en teken er een passend rooster overheen dat deze regelmatige vlakvullingen laat zien. Met andere woorden: je kunt een regelmatig rooster over de tekeningen heen leggen, zodat één vakje van het rooster precies het hele patroon bevat. Zo'n vakje zou je als tegel kunnen gebruiken bij het tegelen van een badkamermuur.
  3. Moet iedere translerende/roterende vlakvulling op deze zelfde regelmatige vlakvulling gebaseerd zijn, of kan je de andere twee regelmatige vlakvullingen daar ook voor gebruiken?
  4. Geef een recept, zo nauwkeurig mogelijk, waarmee je zelf dergelijke translerende/roterende vlakvullingen kunt maken.
  5. Ontwerp zelf zulke vlakvullingen (één translerende en één roterende dus).

In het werkstuk 

Alles wat je gedaan/beantwoord hebt, komt in het werkstuk. Zorg dat het een lopend verhaal wordt en niet een rijtje "antwoorden op vragen".

 

Deel 3 - Escher

Schrijf een stukje over leven en werk van M.C. Escher. Laat dat niet een saaie opsomming van feitjes worden (toen werd-ie geboren, en toen ging-ie tekenen, en later ging-ie dood). Een paar historische momenten zijn natuurlijk wel relevant, maar hou het ter zake: pik vooral de dingen er uit die van belang zijn in het kader van deze webquest en/of de wiskunde. Wat hebben Escher, het Alhambra en vlakverdelingen met elkaar te maken? Kan je plaatjes van het Alhambra vinden? Ga in op het feit dat aanvankelijk vooral wiskundigen e.d. door zijn werk geboeid werden - en dat kwam niet alleen door die vlakverdelingen. Laat wat platen zien die wiskundigen interessant zouden vinden.

 

Deel 4 - afsluiting

Als al het denk- en schrijfwerk achter de rug is, voeg je de verschillende stukken samen tot één werkstuk. Zorg dat het geheel er verzorgd uitziet. Nette hoofdstukindeling, alineaindeling, goed gebruik van kopjes waar nodig, een niet al te grote letter gebruiken, inhoudsopgave, bronvermelding, functioneel gebruik van illustraties, enzovoorts.

Conclusie

In deze webquest heb je je verdiept in manieren om een vlak regelmatig te verdelen. Je hebt gezien dat de doorsnee badkamerbetegling een Platonische vlakverdeling is, maar dat er ook nog heel andere mogelijkheden zijn. Je hebt bovendien vooral ontdekt dat het verdelen van een vlak niet een kwestie is van "zomaar tegeltjes plakken", maar dat er aardig wat wiskunde aan ten grondslag ligt. Daarnaast heb je verdiept in manieren waarop je zelf niet voor de hand liggende tegelpatronen kan ontwerpen - hetzij translerende tegels, hetzij roterende tegels. Je hebt je tot slot ook nog verdiept in de Vlakverdeler der Vlakverdelers, M.C. Escher.

 

Bronnen

Regelmatige en semi-regelmatige vlakvullingen

Vlakvullingen

http://www.coolmath.com/tesspag1.htm
Definitie van een regelmatige vlakvulling

http://mathforum.org/sum95/suzanne/whattess.html
Definitie van regelmatige veelhoek en (semi-)regelmatige vlakvulling. Platonische en Archimedische vlakvullingen (zonder dat ze zo genoemd worden).

http://mathworld.wolfram.com/Tessellation.html
Platonische (regelmatige) en Archimedische (semi-regelmatige) vlakvullingen

 

Vlakvullingen, diversen

Je eigen regelmatige vlakvulling

Escher-vlakvulling maken

http://mathforum.org/geometry/rugs/symmetry/grids.html
Roosters die ten grondslag kunnen liggen aan een vlakvulling

http://www.scienceu.com/geometry/articles/tiling/periodic.html
Basiskennis over hoe je periodieke vlakvullingen herkent (en dus ook niet-periodieke), en een bespreking van het concept "lattice" (raster) waarmee je een vlakvulling kunt "ontleden" in basis-tegels

http://www2.SPSU.edu/math/tile/grammar/index.htm
Vlakvullingen uit oude culteren - veel plaatjes

http://www.wsd1.org/lgc98/teach/Paint/makefish.htm
Translerende vlakvullingen zelf maken met Paint.

In de mediatheek op onze school is een CD-ROM over Escher, waarmee je ook zelf vlakvullingen kunt maken.

 

Transformaties
 

Wisfaq!

http://mathforum.org/geometry/rugs/symmetry/basic.html
Wel érg korte uitleg van de 4 basistransformaties.

http://www.geom.umn.edu:80/~math5337/Symmetry/sym.1.1.5.html
Een wat wiskundiger (en dus betere :-) uitleg van wat de 4 basistransformaties zijn

http://www.scienceu.com/geometry/articles/tiling/symmetry.html
Goede pagina met uitleg en eenvoudige animaties over translatie en rotatie

 

Escher

http://www.mcescher.com
De officiële M.C. Escher website, met biografie en van alles en nog wat - onder "Galerij" vind je bijvoorbeeld erg veel symmetrie-tekeningen

http://home.wxs.nl/~kimmie/escher.html
Korte biografie en iets over Escher's vlakvullingen

http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/BWN/lemmata/bwn2/escher
Nog een bio

http://www.kunstbus.nl/verklaringen/m.c.+escher.html
Redelijk uitgebreide biografie

http://www.science.uva.nl/misc/pythagoras/links/links.php3?section=Escher
Een hele verzameling Escher-gerelateerde links

http://www.geocities.com/davidschow/HUB/Esample.htm
Door Escher geïnspireerde kunstenaars - veel plaatjes, maar niet van Escher zelf