HOME
3H2
4HA1
4HA2
4HB2
5HA2
5HB1
5HB2
Jaaragenda
Rekenmachine
PTA 4H
PTA 5H
Pr.opdr. 4H
Webquests
Pr.opdr.
PWS 
Geschiedenis
Wiskunde
Links Wiskunde
De TAS
 

Vlakvullingen

 

Inleiding

In deze webquest gaan jullie je verdiepen in wat in de wiskunde "vlakverdelingen" heet - tegeltjes dus. Maar dan wel van het interessantere soort. Je zult eenvoudige en lastige tegelpatronen tegenkomen. Jullie verdiepen je in zogenaamde periodieke tegelpatronen: patronen die zichzelf om de zoveel centimeter herhalen (zoals het doorsnee badkamerwandje). Daarnaast zullen jullie ook het werk van de beroemde Nederlandse graficus M.C. Escher tegenkomen en een stukje over hem schrijven.

Opdracht

Gedurende deze webquest gaan jullie je verdiepen in regelmatige vlakvullingen. Het onderstaande plaatje vult weliswaar het vlak, maar is (duidelijk) niet regelmatig. Daar hebben we dus niets aan: dat soort vlakvullingen is zo makkelijk te maken dat er weinig plezier aan te beleven is.

Een regelmatige vlakvulling is er een die zichzelf herhaalt. De doorsnee badkwamerwand is daar een goed voorbeeld van: als je een meter verderop gaat kijken, zie je eigenlijk hetzelfde. Badkamerwandjes zijn echter ook niet bijster interessant. Jullie gaan daarom onderzoeken hoe je interessantere tegels kunt ontwerpen. Daarbij zul je onder andere het beroemde werk van Escher tegenkomen, die een held was als het gaat om het ontwerpen van niet altijd even voor de hand liggende vlakvullingen.

Concreet: jullie definiëren wat een vlakvulling is en onderzoeken de zogenaamde Platonische en Archimedische vlakvullingen. Daarna ga je je verdiepen in minder voor de hand liggende vlakvullingen. Eén van jullie onderzoekt wat een translatie-vlakvulling is en ontwerpt zelf een dergelijke vlakvulling. De ander doet hetzelfde voor een rotatie-vlakvulling. Jullie geven ook beiden een duidelijk recept voor hoe je een dergelijke vlakvulling kan maken. Daarnaast verdiepen jullie je in leven en werk van de graficus M.C. Escher.

Deel 1 - verkenning: regelmatige vlakvullingen

Vooraf: je gaat waarschijnlijk heel wat Engelse websites tegenkomen, die nogal eens wiskundige vaktaal gebruiken. Je kunt dan kijken of woorden die je niet kent in het woordenlijstje staan.

In het Taak-hoofdstuk zeiden we al dat een regelmatige vlakvulling er een is die zichzelf herhaalt. Dat is niet nauwkeurig genoeg. Jullie zoeken om te beginnen twee definities en één formule:

  1. Definitie 1: Wat is een regelmatige veelhoek (regelmatige polygoon)?
  2. Definitie 2: Wat is een regelmatige vlakvulling (ook wel Platonische vlakvulling; in het Engels: regular tesselation)?

Hint: definitie 2 bestaat uit 3 voorwaarden.

  • Formule: Bedenk een manier om van een regelmatige n-hoek de grootte van de hoeken te bepalen. Met andere woorden: produceer een formule waarin je voor "n" bijvoorbeeld "8" kunt invullen, en waar dan de grootte van de hoeken van een achthoek uitrolt. Dit moet je zelf uitvogelen: er is geen website verwijzing met de oplossing! Hint: trek vanuit 1 hoekpunt lijnen naar alle andere hoekpunten en verdeel zo de n-hoek in driehoeken. Wat weet je van de som van de hoeken van een driehoek? Hoeveel driehoeken heb je?

Er bestaan precies 3 regelmatige vlakvullingen, namelijk degenen die je hieronder ziet.

  • Opdracht: bewijs dat er precies 3 regelmatige vlakvullingen bestaan. M.a.w. geef een onweerlegbaar argument waarom er niet meer kunnen bestaan. Hint: gebruik de Bronnen.

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk exact beschreven. Met 'exact' bedoelen we dan: zo nauwkeurig, zonder details over te slaan, dat een klasgenoot die niets van dit onderwerp weet het probleemloos zou kunnen volgen.

 

Deel 2 - semi-regelmatige vlakvullingen

  • Zoek uit wat een semi-regelmatige vlakvulling is (of Archimedische vlakvulling - Eng: semi-regular tesselation). Geef een nauwkeurige definitie.

Er blijken precies 8 Archimedische vlakvullingen te bestaan. Hieronder zie je er één:

Jullie gaan nu bewijzen dat er inderdaad precies 8 van dergelijke vlakvullingen bestaan.

Het bewijs daarvan lijkt sterk op de manier waarop jullie al bewezen dat er 3 Platonische vlakvullingen zijn, alleen heeft dit wat bewijs wat meer voeten in de aarde. Hieronder worden jullie een beetje op weg geholpen.

Het aantal semi-regelmatige vlakvullingen dat je kunt maken, heeft natuurlijk te maken met het aantal manieren waarop je regelmatige veelhoeken rond een hoekpunt kunt leggen, zonder overlap en zonder "kieren". Als je daar even wat mee experimenteert, merk je al snel dat dat op een beperkt aantal manieren kan. Eigenlijk is dit een soort combinatorisch probleem.

Een notatie

Om het praten over dit soort vlakvullingen te vergemakkelijken, is het handig om er een speciale notatie voor af te spreken. We kijken nog eens naar het voorbeeld van hierboven:

Rondom ieder hoekpunt zie je een driehoek, twee vierkanten en een zeshoek liggen. We beginnen bij de figuur met de minste hoeken, de driehoek. Dan lopen we rond het hoekpunt en schrijven op hoeveel hoekpunten iedere figuur heeft waar we doorheen lopen: 3, 4, 6, 4. We noemen dit nu een 3-4-6-4 vlakvulling. Dus: altijd beginnen bij het kleinste aantal hoeken, en dan rondlopen en hoekpunten tellen.

Als we de keus hebben, proberen we zo veel mogelijk van "laag naar hoog" te nummeren. Bijvoorbeeld:

We kunnen dit een 3-4-4-3-3 vlakvulling noemen, of 3-3-4-4-3. We noemen het echter 3-3-3-4-4: bij de rondwandeling om een hoekpunt kunnen we immers beginnen met door de drie driehoeken te lopen, en dan pas door de twee vierkanten. De vorige vlakvulling kunnen we echter niet een 3-4-4-6 vulling noemen: we kunnen immers niet, al rondlopend, achtereenvolgens door de driehoek, 2 vierkanten en zeshoek komen?

Systematisch tellen

Om te bepalen welke semi-regelmatige vlakvullingen er mogelijk zijn, moet je nu systematisch alle mogelijke combinaties nagaan. Dat is vooral een kwestie van zorgvuldig werken. Onderschat dit onderdeel niet: dit kan wel eens veel werk zijn! Begin met een tabel te maken waarin van een verzameling regelmatige veelhoeken de grootte van de hoek staat: dat is een handig hulpmiddel bij het telwerk.

Hint: je hebt alleen de driehoeken t/m twaalfhoeken nodig. Je mag je daartoe beperken, en het daarmee doen.

Als jullie het goed doen, vind je meer dan 8 mogelijkheden. Ga na welke van alle gevonden mogelijkheden ook daadwerkelijk het vlak kunnen vullen: sommigen kunnen dat namelijk niet! Je houdt er dan, als het goed is, 8 over. Geef de namen van die 8, zoals we hierboven afgesproken hebben.

Beschrijf het een en ander nauwkeurig, op zo'n manier dat een klasgenoot zonder kennis van zaken kan volgen wat er gebeurt. Dat betekent waarschijnlijk ook dat er een hoop getekend moet worden. Om het tekenwerk te vergemakkelijken, staat hieronder een plaatje waarop de 3- t/m 12-hoeken staan, op zo'n formaat dat je ze "aan elkaar kunt leggen" (m.a.w. alle zijden zijn even lang). Print die pagina uit (1 of meer keer). Je kunt dan bijvoorbeeld de veelhoeken uitknippen en gebruiken, of (makkelijker) overtrekken of iets dergelijks.

Opmerking: het feit dat alle veelhoeken van 3 t/m 12 op de net genoemde pagina staan, betekent niet perse dat je ze ook allemaal nodig hebt. Wellicht bestaat er helemaal geen semi-regelmatige vlakvulling waarin bijvoorbeeld zevenhoeken voorkomen... Dat is aan jullie om uit te zoeken.

Laatste hint: bij de Bronnen staat een webpagina die o.a. over het hierboven besproken naamgeven gaat, en over de (on)mogelijke semi-regelmatige vlakvullingen. Een bewijs wordt daar echter niet gegeven. Zoek zelf uit welke pagina dat is.

In het werkstuk 

Alle resultaten komen in het werkstuk. Geef tekeningen van alle mogelijke combinaties die jullie gevonden hebben, inclusief degenen die "niet werken". Geef ook de "namen", zoals we dat hierboven afgesproken hebben. Opmerking: een tekening hoeft slechts 1 hoekpunt te beslaan, en niet een heel gevuld vlak (dat zou veel te veel werk zijn). Dus voor de eerste vlakvulling op deze pagina, zou je alleen een driehoek, 2 vierkanten en een zeshoek tekenen. Probeer de tekeningen zo netjes mogelijk te maken, maar lig er niet van wakker als het niet allemaal helemaal klopt op papier.

  

Deel 3 - zelf vlakvullingen maken

Onderdeel 3A: translerende vlakvullingen

Onderstaand plaatje laat een zogenaamde translerende vlakvulling van Escher zien:

Doe/beantwoord het volgende:

  1. Leg uit wat een translatie is en waarom een vlakvulling zoals hierboven wordt getoond een "translerende vlakvulling" heet.
  2. Bovenstaand plaatje is gebaseerd op één van de drie regelmatige vlakvullingen. Welke? Neem bovenstaand plaatje in het werkstuk op, en teken er een passend rooster overheen dat deze regelmatige vlakvulling laat zien. Met andere woorden: je kunt een regelmatig rooster over deze tekening heen leggen, zodat één vakje van het rooster precies het hele patroon bevat. Zo'n vakje zou je als tegel kunnen gebruiken bij het tegelen van de badkamermuur. Hint: Sla het plaatje even apart op en print het bijv. op een lege bladzijde in Word.
  3. Moet iedere translerende vlakvulling op deze zelfde regelmatige vlakvulling gebaseerd zijn, of kan je de andere twee regelmatige vlakvullingen daar ook voor gebruiken?
  4. Geef een recept, zo nauwkeurig mogelijk, waarmee je zelf dergelijke translerende vlakvullingen kunt maken.
  5. Ontwerp zelf zo'n vlakvulling.

Onderdeel 3B: roterende vlakvullingen

Onderstaand plaatje laat een zogenaamde roterende vlakvulling van Escher zien:

Doe/beantwoord het volgende:

  1. Leg uit wat een rotatie is en waarom een vlakvulling zoals hierboven wordt getoond een "roterende vlakvulling" heet.
  2. Bovenstaand plaatje is gebaseerd op één van de drie regelmatige vlakvullingen. Welke? Neem bovenstaand plaatje in het werkstuk op, en teken er een passend rooster overheen dat deze regelmatige vlakvulling laat zien. Met andere woorden: je kunt een regelmatig rooster over deze tekening heen leggen, zodat één vakje van het rooster precies het hele patroon bevat. Zo'n vakje zou je als tegel kunnen gebruiken bij het tegelen van de badkamermuur.
  3. Moet iedere roterende vlakvulling op deze zelfde regelmatige vlakvulling gebaseerd zijn, of kan je de andere twee regelmatige vlakvullingen daar ook voor gebruiken?
  4. Geef een recept, zo nauwkeurig mogelijk, waarmee je zelf dergelijke roterende vlakvullingen kunt maken.
  5. Ontwerp zelf zo'n vlakvulling.

 

Deel 4

Schrijf een stukje over leven en werk van M.C. Escher. Laat dat niet een saaie opsomming van feitjes worden (toen werd-ie geboren, en toen ging-ie tekenen, en later ging-ie dood). Een paar historische momenten zijn natuurlijk wel relevant, maar hou het ter zake: pik vooral de dingen er uit die van belang zijn in het kader van deze webquest en/of de wiskunde. Wat hebben Escher, het Alhambra en vlakverdelingen met elkaar te maken? Kan je plaatjes van het Alhambra vinden? Ga in op het feit dat aanvankelijk vooral wiskundigen e.d. door zijn werk geboeid werden - en dat kwam niet alleen door die vlakverdelingen. Laat wat platen zien die wiskundigen interessant zouden vinden.

 

Conclusie

In deze webquest heb je je verdiept in manieren om een vlak regelmatig te verdelen. Je hebt gezien dat de doorsnee badkamerbetegeling een Platonische vlakverdeling is, maar dat er ook nog heel andere mogelijkheden zijn. Je hebt bovendien vooral ontdekt dat het verdelen van een vlak niet een kwestie is van "zomaar tegeltjes plakken", maar dat er aardig wat wiskunde aan ten grondslag ligt. Daarnaast heb je verdiept in manieren waarop je zelf niet voor de hand liggende tegelpatronen kan ontwerpen - hetzij translerende tegels, hetzij roterende tegels. Je hebt je tot slot ook nog verdiept in de Vlakverdeler der Vlakverdelers, M.C. Escher.

Bronnen

Regelmatige en semi-regelmatige vlakvullingen

http://www.coolmath.com/tesspag1.htm
Definitie van een regelmatige vlakvulling

http://mathforum.org/sum95/suzanne/whattess.html
Definitie van regelmatige veelhoek en (semi-)regelmatige vlakvulling. Platonische en Archimedische vlakvullingen (zonder dat ze zo genoemd worden).

http://mathworld.wolfram.com/Tessellation.html
Platonische (regelmatige) en Archimedische (semi-regelmatige) vlakvullingen

http://people.hws.edu/mitchell/tilings/Part1.html
Een wat technischer pagina over semi-regelmatige vlakvullingen en de manier van naamgeven

   

Vlakvullingen, diversen

http://mathforum.org/geometry/rugs/symmetry/grids.html
Roosters die ten grondslag kunnen liggen aan een vlakvulling

http://www.scienceu.com/geometry/articles/tiling/periodic.html
Basiskennis over hoe je periodieke vlakvullingen herkent (en dus ook niet-periodieke), en een bespreking van het concept "lattice" (raster) waarmee je een vlakvulling kunt "ontleden" in basis-tegels

http://www2.SPSU.edu/math/tile/grammar/index.htm
Vlakvullingen uit oude culteren - veel plaatjes

In de mediatheek is een CD-ROM over het werk van Escher, waar je zelf vlakvullingen mee kunt maken.

Transformaties

http://mathforum.org/geometry/rugs/symmetry/basic.html
Wel érg korte uitleg van de 4 basistransformaties.

http://www.geom.umn.edu:80/~math5337/Symmetry/sym.1.1.5.html
Een wat wiskundiger (en dus betere :-) uitleg van wat de 4 basistransformaties zijn

http://www.scienceu.com/geometry/articles/tiling/symmetry.html
Goede pagina met uitleg en eenvoudige animaties over translatie en rotatie

 

Escher

http://www.mcescher.com/
De officiële M.C. Escher website, met biografie en van alles en nog wat - onder "Galerij" vind je bijvoorbeeld erg veel symmetrie-tekeningen

http://home.wxs.nl/~kimmie/escher.html
Korte biografie en iets over Escher's vlakvullingen

http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/BWN/lemmata/bwn2/escher
Nog een bio

http://www.kunstbus.nl/verklaringen/m.c.+escher.html
Redelijk uitgebreide biografie

http://www.science.uva.nl/misc/pythagoras/links/links.php3?section=Escher
Een hele verzameling Escher-gerelateerde links

http://www.geocities.com/davidschow/HUB/Esample.htm
Door Escher geïnspireerde kunstenaars - veel plaatjes, maar niet van Escher zelf