Driehoek van Pascal

Inleiding

De Driehoek van Pascal ben je tegengekomen bij de Kansrekening. Er is je toen verteld, dat er een heleboel toepassingen zijn. Maar welke zijn dat dan?

Opdracht

In deze webquest ga je de driehoek van Pascal onderzoeken. Je komt driehoeksgetallen en piramidegetallen tegen, en ontdekt dat er in de driehoek van Pascal een heuse fractal schuil gaat die de zeef van Sierpinski heet. En die kan je dan weer maken met iets dat een "cellulaire automaat" heet - beestjes die zich volgens strikte regels voortplanten. Je merkt zo dat de driehoek van Pascal een onuitputtelijke bron van wiskundig vermaak is. De raarste dingen zitten er in. En alles wat je hier tegenkomt heeft nota bene niets met kansrekenen te maken (als dat een troost is).

Deel 1 - Pascal en 'zijn' driehoek

Tip vooraf: je zult op Engelstalige webpagina's terecht komen, waar wellicht wiskundige vaktaal gebruikt wordt. Als je moeilijke woorden tegenkomt, kijk dan eens naar de woordenlijst.

Om warm te lopen ga je eerst eens uitzoeken wie die Pascal nou eigenlijk was en of die driehoek wel echt van hem is. Een beetje historie dus...

• Schrijf een stukje over de geschiedenis van de driehoek van Pascal, en de persoon Blaise Pascal zelf. Is die driehoek echt door hem "uitgevonden" en zo niet, door wie dan wel? Zijn er plekken in de geschiedenis waar die driehoek opduikt? Als onderdeel hiervan beschrijf je ook hoe de driehoek van Pascal precies in elkaar zit - m.a.w. je geeft het exacte recept voor hoe je die driehoek kunt maken. Ook in je wiskundeboek staat het een en ander over de driehoek van Pascal. Beschrijf kort (erg kort - een paar regels!) hoe je de getallen in de driehoek kunt gebruiken bij het tellen van "loopmogelijkheden in een rooster".

In het werkstuk

Het bovenstaande komt in het werkstuk. Hou het zo kort mogelijk en ter zake: je hoeft niet een complete biografie te schrijven, maar wilt alleen het een en ander in historisch perspectief plaatsen.

Deel 2 - Driehoeken en piramides

Zoek uit wat driehoeksgetallen zijn (Engels: triangular numbers), en leg dat uit m.b.v. een tekening. Geef de eerste 10 driehoeksgetallen. Doe precies hetzelfde voor piramidegetallen (zie opmerking hieronder).
Terzijde: de naam 'piramidegetallen' is eigenlijk niet correct. We hebben het hier over een speciaal soort piramides, namelijk met een driehoekig grondvlak. In het Engels heten deze getallen tetrahedral numbers, naar het tetrahedron, of regelmatige viervlak (een piramide met 4 gelijkzijdige driehoeken als grond- en zijvlakken). Een 'piramide' is algemener, en kan ook een vierkant, vijfhoekig, ... grondvlak hebben, en de term 'piramidegetallen' verwijst eigenlijk naar die hele klasse getallen (stapel mandarijnen in een vierkant, leg daar een kleiner vierkant bovenop, enz, en idem met een vijfhoek, zeshoek...). Misschien had ik de piramidegetallen "tetrahedrale getallen" moeten noemen, maar dat is zo'n rare mondvol. Als we het over piramidegetallen hebben, bedoelen we dus steeds "driehoekige piramide".


Onderzoek waar in de driehoek van Pascal de driehoeksgetallen en piramidegetallen voorkomen. Laat dat ook daadwerkelijk zien, met een tekening.

De lijst merkwaardige getallen en reeksen die je in de driehoek van Pascal kunt vinden is haast eindeloos. Net zo zijn er talloze praktische toepassingen van de driehoek. We bekijken één van de belangrijkste.

Zoek op het web op hoe de driehoek van Pascal gebruikt kan worden als je haakjes moet wegwerken in uitdrukkingen als (x+1)ⁿ , of (wat op hetzelfde neerkomt) (a+b)ⁿ. Demonstreer dit gebruik aan de hand van een concreet voorbeeld - werk m.b.v. de driehoek van Pascal bijvoorbeeld de haakjes weg van (x+1)⁶ o.i.d. Een bewijs of uitleg van het waarom is niet nodig. Zorg gewoon dat je duidelijk uitlegt hoe dit werkt. Bedenk je overigens dat dit verschrikkelijk handig is: als je met de hand de haakjes moet wegwerken in een uitdrukking als (x+1)(x+1)(x+1)(x+1) ((x+1)-tot-de-vierde dus), dan ben je wel even zoet...
In het werkstuk
Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk exact beschreven. Met 'exact' bedoelen we dan: zo nauwkeurig, zonder details over te slaan, dat een klasgenoot die niets van dit onderwerp weet het probleemloos zou kunnen volgen.

Deel 3 - Even getallen en de zeef van Sierpinski

We gaan in dit deel iets heel anders doen: we kijken naar veelvouden van bepaalde getallen in de driehoek van Pascal. De exacte waarden van getallen doen er dus niet zo toe - we kijken alleen naar of een getal deelbaar is door twee (de even getallen dus) of alle drievouden, enzovoorts. Het blijkt dat daar van alles mee aan de hand is.

Neem een stuk van de driehoek van Pascal (bijvoorbeeld die hiernaast) en kleur alle oneven getallen zwart (zodat de even getallen overblijven). Probeer voor jezelf onder woorden te brengen wat je ziet ontstaan. Ga vervolgens naar één van de sites die een applet hebben waarmee je ditzelfde kleurwerk wat sneller en uitgebreider kunt doen (bij de Bronnen). Bij die applets kan je zelf de "divisor" (deler) instellen. Vul daar '2' in. Probeer nu zo nauwkeurig mogelijk te formuleren hoe het patroon in elkaar zit. Met andere woorden: kan je uitleggen hoe het patroon verder gaat als je steeds meer en meer rijen van de driehoek zou gebruiken?
Maak ook eens (met de hand en niet met een applet) een 'kleurplaat' waar je alleen de drievouden overhoudt (dus alle niet-drievouden inkleuren). En doe dat nog eens met alle zesvouden. Je hebt nu 3 kleurplaten waar respectievelijk de 2-vouden, 3-vouden en 6-vouden nog wit zijn. Onderzoek hoe je met de eerste twee kleurplaten de derde zou kunnen maken: wat is het verband/recept?
Gebruik dezelfde applet om eens te onderzoeken wat er gebeurt als je kijkt naar drievouden in plaats van tweevouden (voor "divisor" dus 3 invullen). En viervouden, vijfvouden? Experimenteer er eens op los. Het zal je opvallen dat sommige getallen erg regelmatige patronen geven, terwijl anderen een veel rommeliger plaatje geven. Zoek uit welke getallen de regelmatigste patronen geven (probeer in ieder geval alle getallen van 2 tot 20). Kan je ontdekken wat voor soort getallen dat zijn - wat hebben ze gemeenschappelijk, of wat is hun karakteristieke eigenschap? Kan je, met behulp van je onderzoek naar de 2, 3 en 6-vouden, uitleggen waarom sommige getallen een 'rommeliger' plaatje geven dan anderen?
Het patroon dat je vond bij de tweevouden lijkt sterk op een in de wiskunde bekende fractal die de 'zeef van Sierpinski' heet. Trouwens: een fractal is een figuur die zelfgelijkvormig is. Dat wil zeggen: als je er een deel van neemt, dan is dat deel identiek (!) aan het geheel.

Zoek uit wat de zeef van Sierpinski is: geef het "recept" waarmee je deze figuur kan maken (in theorie dan, want de 'echte' zeef is het eindresultaat van oneindig vaak hetzelfde proces herhalen - dat kan je dus nooit in het echt doen).
Terzijde: besef je dat het patroon van tweevouden in de driehoek van Pascal en de zeef van Sierpinski niet helemaal identiek zijn. Bij Pascal groeit het patroon als het ware "van klein naar groot": je begint op de 1e rij, en laat de driehoek (en dus het patroon) steeds groter worden. Bij Sierpinski gaat het andersom: je begint met een driehoek en haalt steeds iets weg - je gaat dus van groot naar klein. Als je beide processen oneindig lang zou volhouden (en de dan oneindig grote driehoek van Pascal tot fatsoenlijke afmetingen zou terugbrengen), dan zouden beide wél identiek zijn.

Conclusie

In deze webquest heb je je bezig gehouden met de driehoek van Pascal - een ding dat bij iedere middelbare scholier bekend is. Je hebt ontdekt dat er veel en veel meer aan te beleven is dan in je schoolboek staat. Op je ontdekkingstocht ben je driehoeks- en piramidegetallen tegengekomen. Je hebt zelfs fractals ontdekt - figuren die er steeds hetzelfde uitzien, hoe sterk je ook inzoomt. Toen je voor het eerst "routes in een rooster" zat te tellen met de driehoek van Pascal had je vast nooit vermoed dat er zoveel (en nog veel meer) achter dat rare ding schuil ging...

Bronnen

Driehoek van Pascal

http://ptri1.tripod.com/
Driehoeksgetallen en nog meer merkwaardigs in Pascal's driehoek.

http://milan.milanovic.org/math/english/contents.html
Van alles over de mens Pascal, en de driehoek van Pascal, inclusief driehoeks- en tetrahedrale (piramide) getallen.

http://milan.milanovic.org/math/english/triangular/triangular.html
Van bovenstaande site: driehoeksgetallen.

http://milan.milanovic.org/math/english/tetrahedral/tetrahedral.html
Van dezelfde site: piramidegetallen.

http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pascal.triangle.html
Nog eens driehoeksgetallen, plus het verband tussen de driehoek en (x+1)^n.

http://www.shyamsundergupta.com/triangle.htm
Meer dan je ooit wilt weten over driehoeksgetallen

http://mathworld.wolfram.com/TriangularNumber.html
Gedegen behandeling van driehoeksgetallen, met formules e.d.

http://mathworld.wolfram.com/TetrahedralNumber.html
Gedegen behandeling van piramidegetallen, met formules e.d.

Zeef van Sierpinski

http://math.rice.edu/~lanius/fractals/
Sierpinski "basics".

http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/siertri/siertri.htm
Nog eens de "basics", al wordt het verderop al snel een stuk lastiger.

http://www.maa.org/mathland/mathland_2_10.html
Pascal en Sierpinski

http://www-math.cudenver.edu/~wcherowi/jcorn5.html
Pascal en tweevouden, drievouden en zesvouden (a.h. begin en het eind van de pagina - het middendeel is interessant maar voert te ver).

http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMT668.Student.Folders/BrombacherAarnout/spreadsheets/SpreadsheetsnPascal.html
Een hele verzameling plaatjes van ingekleurde Pascal-driehoeken. Let op: er worden hier meerdere kleuren gebruikt, in tegenstelling tot wat we in deze webquest doen.

Applets

http://www.math.rug.nl/didactiek/BSP/Driehoek_pascal/materiaalpagina/materiaalpagina.htm
Als hierboven.

Biografie

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Pascal.html
Biografie van Pascal